Önemli Özdeşlikler, Tam Kare ve İki Kare Farkı Özdeşlikleri

Bilmemiz gereken önemli özdeşlikler üç tanedir. Bunlar; iki terimin toplamının karesi özdeşliği, iki terimin farkının karesi özdeşliği ve iki terimin kareleri farkı özdeşliğidir.

İki terimin toplamının karesi ve iki terimin farkının karesi özdeşliklerine tam kare özdeşliği de denir.
İki terimin karelerinin farkı özdeşliğine de kısaca iki kare farkı özdeşliği denmektedir.

Önemli Özdeşlikler Konu Anlatımı

Tam Kare Özdeşliği

Aşağıda iki terimin toplamının karesi yada diğer adıyla tam kare özdeşliği gösterilmektedir.

Aşağıdaki resimde ise iki terimin farkının karesi özdeşliği anlatılmıştır.

» (a+b)² ve (a-b)² şeklindeki cebirsel ifadeler tam kare cebirsel ifadeler olarakta adlandırılır.
» Yukarıdaki resimlerde (a+b)² ve (a-b)² tam kare ifadelerinin özdeşi olan ifadeler hesaplanmıştır.

» Tam kare ifadelerin özdeşi hesaplanırken yukarıdaki gibi üslü sayılarda 2.kuvveti hesaplarken yaptığımız gibi ifadeyi yan yana iki kere yazıp, her bir terimi birbiri ile çarpabiliriz.

» Bu çarpmalar sonucunda bulduğumuz sonuçların mantığı hep aynıdır. (a+b)² ifadesinde a’ya birinci terim, b’ye ikinci terim dersek, bu ifadenin özdeşi şuna eşit olacaktır: Birincinin (a’nın) karesi, birinci ile ikincinin çarpımının (a.b) 2 katı, ikincinin (b’nin) karesi. Bu cümle tüm tam kare ifadelerin özdeşi bulunurken kullanılabilir. Böylece hiç işlem yapmadan kısa sürede doğru cevabı bulabiliriz.

ÖRNEK: (2x+y)² ifadesinin özdeşini bulunuz.
ÇÖZÜM: Toplama sembolü birinci ve ikinci ifadeyi birbirinden ayırmaktadır. Dolayısıyla buradaki birinci ifade 2x, ikinci ifade ise y dir. Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı, ikincinin karesi kuralını uygularsak;

» Birincinin karesi=2x’in karesi 2x.2x ten 4.x²

» Birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı=2.2x.y=4.x.y

» İkincinin karesi=y’nin karesi y.y den y² olacaktır.

» Dolayısıyla (2x+y)²=4.x²+4.x.y+y² ifadesine eşittir.

» Aşağıdaki resimlerde tam kare ifadelerin özdeşi kısa yoldan bulunmuştur. Resimleri dikkatlice incelemenizi tavsiye ederiz.

ÖRNEK:

İki Kare Farkı Özdeşliği

» a²-b² şeklindeki cebirsel ifadeler iki kare farkı cebirsel ifadeler olarak adlandırılır.
» Yukarıdaki resimde iki terimin toplamı ile farkı çarpılmış ve gerekli işlemler yapılmıştır.
» Yukarıdaki resimde de görüldüğü gibi; İki terimin toplamı ile farkının çarpımı, bu terimlerin karelerinin farkına eşittir.
» Yani; (a+b).(a-b)=a²-b² dir. Cebirsel ifadelerde (a+b).(a-b) ifadesini gördüğümüz her yere a²-b² ifadesini yazabiliriz. Çünkü bu ifadeler özdeştir.

ÖRNEK: (3x+y).(3x-y) ifadesinin özdeşini bulunuz.
ÇÖZÜM: (3x+y).(3x-y) ifadesinde 3x ile y terimlerinin toplamı ile farkı çarpım durumundadır. Bu ifade yukarıda anlattığımız iki kare farkı ifadesidir ve bu terimlerin kareleri farkına eşittir. Yani; (3x+y).(3x-y) ifadesinin özdeşi (3x)²-y² ifadesidir. Burada (3x)²-y² ifadesini biraz düzenlersek; (3x)²=3x.3x=9x² olacağından ifade (3x+y).(3x-y)=9x²-y² şeklindedir.

ÖRNEK: 52²-48² ifadesinin eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM: 52²-48² ifadesinin sonucunu iki farklı yöntemle hesaplayabiliriz.

Birinci Yöntem: 52²-48² ifadesinin sonucunu bulmak için; 52 nin ve 48 in karelerini hesaplayıp sonra birbirinden çıkarırız.
52²=52.52=2704
48²=48.48=2304
Öyleyse; 52²-48²=2704-2304=400 olarak bulunur.

İkinci Yöntem: 52²-48² ifadesi iki kare farkıdır. Dolayısıyla 52 ile 48 terimlerinin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.
52²-48²=(52+48).(52-48)
52²-48²=100.4
52²-48²=400 Görüldüğü gibi işlemin sonucunu iki kare farkını kullanarak bulmak oldukça kolay.