Önemli Özdeşlikler

0
55

Tam Kare

tamkare1tamkare2

» (a+b)² ve (a-b)² şeklindeki cebirsel ifadeler tam kare cebirsel ifadeler olarak adlandırılır.
» Yukarıdaki resimlerde (a+b)² ve (a-b)² tam kare ifadelerinin özdeşi olan ifadeler hesaplanmıştır. 
» Tam kare ifadelerin özdeşi hesaplanırken yukarıdaki gibi üslü sayılarda 2.kuvveti hesaplarken yaptığımız gibi ifadeyi yan yana iki kere yazıp, her bir terimi birbiri ile çarpabiliriz.
» Bu çarpmalar sonucunda bulduğumuz sonuçların mantığı hep aynıdır.  (a+b)² ifadesinde a’ya birinci terim, b’ye ikinci terim dersek, bu ifadenin özdeşi şuna eşit olacaktır: Birincinin (a’nın) karesi, birinci ile ikincinin çarpımının (a.b) 2 katı, ikincinin (b’nin) karesi. Bu cümle tüm tam kare ifadelerin özdeşi bulunurken kullanılabilir. Böylece hiç işlem yapmadan kısa sürede doğru cevabı bulabiliriz.
ÖRNEK: (2x+y)² ifadesinin özdeşini bulunuz.
ÇÖZÜM: Toplama sembolü birinci ve ikinci ifadeyi birbirinden ayırmaktadır. Dolayısıyla buradaki birinci ifade 2x, ikinci ifade ise y dir. Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı, ikincinin karesi kuralını uygularsak;
» Birincinin karesi=2x’in karesi 2x.2x ten 4.x²
» Birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı=2.2x.y=4.x.y
» İkincinin karesi=y’nin karesi y.y den y² olacaktır.
» Dolayısıyla (2x+y)²=4.x²+4.x.y+y² ifadesine eşittir.
» Aşağıdaki resimlerde tam kare ifadelerin özdeşi kısa yoldan bulunmuştur. Resimleri dikkatlice incelemenizi tavsiye ederiz.
ÖRNEK:
tamkareornek1
 ÖRNEK:
tamkareornek2
 ÖRNEK:
tamkareornek3

 İki Kare Farkı

ikikarefarki» a²-b² şeklindeki cebirsel ifadeler iki kare farkı cebirsel ifadeler olarak adlandırılır.

» Yandaki resimde iki terimin toplamı ile farkı çarpılmış ve gerekli işlemler yapılmıştır.

» Yandaki resimde de görüldüğü gibi; İki terimin toplamı ile farkının çarpımı, bu terimlerin karelerinin farkına eşittir.

» Yani; (a+b).(a-b)=a²-b² dir. Cebirsel ifadelerde (a+b).(a-b) ifadesini gördüğümüz her yere a²-b² ifadesini yazabiliriz. Çünkü bu ifadeler özdeştir.

ÖRNEK: (3x+y).(3x-y) ifadesinin özdeşini bulunuz.

ÇÖZÜM: (3x+y).(3x-y) ifadesinde 3x ile y terimlerinin toplamı ile farkı çarpım durumundadır. Bu ifade yukarıda anlattığımız iki kare farkı ifadesidir ve bu terimlerin kareleri farkına eşittir. Yani; (3x+y).(3x-y) ifadesinin özdeşi (3x)²-y² ifadesidir. Burada (3x)²-y² ifadesini biraz düzenlersek; (3x)²=3x.3x=9x² olacağından ifade (3x+y).(3x-y)=9x²-y² şeklindedir.

ÖRNEK: 52²-48² ifadesinin eşitini bulunuz.

ÇÖZÜM: 52²-48² ifadesinin sonucunu iki farklı yöntemle hesaplayabiliriz.

Birinci Yöntem: 52²-48² ifadesinin sonucunu bulmak için; 52 nin ve 48 in karelerini hesaplayıp sonra birbirinden çıkarırız. 

52²=52.52=2704

48²=48.48=2304

Öyleyse; 52²-48²=2704-2304=400 olarak bulunur.

İkinci Yöntem: 52²-48² ifadesi iki kare farkıdır. Dolayısıyla 52 ile 48 terimlerinin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.

52²-48²=(52+48).(52-48)

52²-48²=100.4

52²-48²=400 Görüldüğü gibi işlemin sonucunu iki kare farkını kullanarak bulmak oldukça kolay.

 

 

Paylaş

CEVAP VER

Please enter your comment!
Please enter your name here